स्पर्धा परीक्षांमध्ये गणित विषय अत्यंत महत्त्वाचा मानला जातो. यात विशेषतः अंकगणित (Arithmetic) या विभागात विभाज्यतेच्या कसोट्यांवर आधारित प्रश्न मोठ्या प्रमाणात विचारले जातात. त्यामुळे या विषयावरची सखोल माहिती असणे अत्यावश्यक आहे.
या लेखात आपण विभाज्यतेच्या सर्व महत्त्वाच्या कसोट्या, उदाहरणांसह सोप्या भाषेत जाणून घेणार आहोत. चला तर मग सुरुवात करूया!
विभाज्यतेची कसोटी म्हणजे काय?
विभाज्यतेच्या कसोट्या म्हणजे अशा नियमांची मालिका आहे ज्याच्या आधारे आपण कोणत्याही संख्येला कोणत्या विशिष्ट संख्येने नि:शेष भाग जातो की नाही हे भागाकार न करता सांगू शकतो.
उदाहरणार्थ, आपण जर जाणून घ्यायचं असेल की एखाद्या संख्येला 3, 5 किंवा 9 ने भाग जातो का नाही, तर पूर्ण भागाकार करण्याची गरज नाही — आपण त्या संख्येतील अंकांवर आधारित विशिष्ट नियम वापरून ते लगेच सांगू शकतो. हेच नियम म्हणजे विभाज्यतेच्या कसोट्या.
या कसोट्यांचा उपयोग:
- मोठ्या संख्येवर पटकन भाग जातो का हे तपासण्यासाठी
- मूलभूत अवयव (Prime Factors) शोधण्यासाठी
- अपूर्णांकाचे संक्षिप्त रूप (Lowest Form) शोधण्यासाठी
- स्पर्धा परीक्षांमध्ये वेळ वाचवण्यासाठी
- गणिताचे मूलभूत नियम समजून घेण्यासाठी
1962 साली मार्टिन गार्डनर (Martin Gardner) या अमेरिकन गणितज्ञाने एका वैज्ञानिक लेखामध्ये 2 ते 12 पर्यंतच्या संख्यांसाठी विभाज्यतेचे नियम सोप्या भाषेत समजावले. आज हे नियम जगभरातील गणिताच्या विद्यार्थ्यांना उपयोगी पडतात.
1 ते 10 पर्यंतचे विभाज्यता नियम | Divisibility Rules in Marathi
1 ची कसोटी | Divisibility Rule for 1 in Marathi
1 ची विभाज्यता कसोटी : कोणतीही पूर्ण संख्या (Whole Number) ही 1 ने नेहमीच पूर्णपणे (निःशेष) भागते.
यामध्ये कोणताही विशेष नियम लागू होत नाही कारण 1 हा प्रत्येक संख्येचा एक सार्वत्रिक विभाजक (universal divisor) आहे.
नियम:
जर कोणतीही नैसर्गिक संख्या असेल, तर ती 1 ने हमखास भाग जाते.
उदाहरणे (Examples):
- 56
- 56 ÷ 1 = 56
- 56 ही संख्या 1 ने पूर्णपणे भागते.
- 9999
- 9999 ÷ 1 = 9999
- 9999 ही संख्या देखील 1 ने भागते.
- 1000000
- 1000000 ÷ 1 = 1000000
- ही संख्या 1 ने निःशेष भागते.
लक्षात ठेवा:
- 1 हा प्रत्येक नैसर्गिक संख्येचा विभाजक आहे.
- त्यामुळे 1 साठी कोणतीही विशेष गणिती कसोटी लागू होत नाही.
- कोणतीही संख्या 1 ने नेहमीच विभाज्य असते.
2 ची कसोटी | Divisibility Rule for 2 in Marathi
2 ची विभाज्यता कसोटी : एखाद्या संख्येच्या एककस्थानी (unit digit) जर 0, 2, 4, 6 किंवा 8 यापैकी कोणताही अंक असेल, तर ती संख्या 2 ने निःशेष (पूर्ण) भाग जाते. यालाच सम संख्या (Even Number) म्हणतात. सम संख्या म्हणजे अशी संख्या जी 2 ने विभाज्य (divisible by 2) असते.
नियम:
जर एखाद्या संख्येचा शेवटचा अंक सम असेल, तर ती संख्या 2 ने पूर्णपणे भाग जाते.
उदाहरणे:
- 246
- एकक स्थान = 6 (सम अंक)
- 246 ÷ 2 = 123
➤ 246 ला 2 ने भाग जातो.
- 850
- एकक स्थान = 0 (सम अंक)
- 850 ÷ 2 = 425
➤ 850 ला 2 ने भाग जातो.
- 12341
- एकक स्थान = 1 (विषम अंक)
- 12341 ÷ 2 = अपूर्ण भाग
➤ 12341 ला 2 ने भाग जात नाही.
लक्षात ठेवा:
- सर्व सम संख्यांना 2 ने भाग जातो.
- विषम संख्या (Odd numbers) म्हणजे ज्यांच्या शेवटी 1, 3, 5, 7 किंवा 9 येतात — त्यांना 2 ने भाग जात नाही.
3 ची कसोटी | Divisibility Rule for 3 in Marathi
3 ची विभाज्यता कसोटी : जर संख्येतील सर्व अंकांची बेरीज 3 ने निःशेष भाग जात असेल, तर ती पूर्ण संख्या देखील 3 ने विभाज्य (Divisible by 3) असते.
नियम:
संख्येतील प्रत्येक अंकाची बेरीज घ्या. जर ही बेरीज 3 ने पूर्ण भाग जाणारी असेल, तर त्या संख्येला 3 ने निःशेष भाग जातो.
उदाहरणे:
- 6239996379
- अंकांची बेरीज: 6 + 2 + 3 + 9 + 9 + 9 + 6 + 3 + 7 + 9 = 63
- 63 ची बेरीज: 6 + 3 = 9
- 9 ला 3 ने भाग जातो (9 ÷ 3 = 3).
➤ 6239996379 ला 3 ने भाग जातो.
- 1121031
- अंकांची बेरीज: 1 + 1 + 2 + 1 + 0 + 3 + 1 = 9
- 9 ला 3 ने भाग जातो.
➤ 1121031 ला 3 ने भाग जातो.
- 3579
- अंकांची बेरीज: 3 + 5 + 7 + 9 = 24
- 24 ला 3 ने भाग जातो.
➤ 3579 ला 3 ने भाग जातो.
- 3194
- अंकांची बेरीज: 3 + 1 + 9 + 4 = 17
- 17 ला 3 ने भाग जात नाही.
➤ 3194 ला 3 ने भाग जात नाही.
लक्षात ठेवा:
- जर अंकांची बेरीज 3 ने भाग जात नसेल, तर ती संख्या 3 ने विभाज्य नाही.
- ही कसोटी फक्त पूर्ण संख्यांवर लागू होते.
4 ची कसोटी | Divisibility Rule for 4 in Marathi
4 ची विभाज्यता कसोटी : जर संख्येच्या शेवटच्या दोन अंकांनी तयार झालेली संख्या 4 ने निःशेष भाग जात असेल, तर ती पूर्ण संख्या 4 ने विभाज्य (Divisible by 4) असते.
नियम:
संख्येतील शेवटचे दोन अंक घ्या. जर ती दोन अंकी संख्या 4 ने पूर्ण भाग जाणारी असेल, तर मूळ संख्याही 4 ने विभाज्य आहे.
उदाहरणे:
- 72732
- शेवटचे दोन अंक: 32
- 32 ÷ 4 = 8
➤ म्हणून 72732 ही संख्या 4 ने विभाज्य आहे.
- 1200
- शेवटचे दोन अंक: 00
- 00 ÷ 4 = 0
➤ म्हणून 1200 ही संख्या 4 ने विभाज्य आहे.
- 67548
- शेवटचे दोन अंक: 48
- 48 ÷ 4 = 12
➤ म्हणून 67548 ही संख्या 4 ने पूर्ण भाग जाते.
लक्षात ठेवा :
- जर शेवटचे दोन अंक 4 ने भाग जात नसतील, तर पूर्ण संख्या देखील 4 ने विभाज्य नाही.
- 00 असले तरी देखील संख्या 4 ने विभाज्य मानली जाते.
5 ची कसोटी | Divisibility Rule for 5 in Marathi
5 ची विभाज्यता कसोटी : जर संख्येच्या एकक स्थानी (अंतिम अंक) 0 किंवा 5 असेल, तर ती संख्या 5 ने विभाज्य (Divisible by 5) असते.
नियम:
संख्येचा शेवटचा अंक 0 किंवा 5 असल्यास ती संपूर्ण संख्या 5 ने निःशेष भाग जाते.
उदाहरणे:
- 5255
- एकक स्थानाचा अंक: 5
➤ 5 आहे, म्हणजे 5255 ही संख्या 5 ने विभाज्य आहे.
- एकक स्थानाचा अंक: 5
- 8330
- एकक स्थानाचा अंक: 0
➤ 0 आहे, म्हणून 8330 देखील 5 ने विभाज्य आहे.
- एकक स्थानाचा अंक: 0
- 98765
- एकक स्थानाचा अंक: 5
➤ त्यामुळे ही संख्या देखील 5 ने पूर्ण भाग जाते.
- एकक स्थानाचा अंक: 5
लक्षात ठेवा:
- केवळ 0 किंवा 5 असले तरच संख्या 5 ने भाग जाते.
- जर शेवटचा अंक 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9 असेल – तर ती संख्या 5 ने विभाज्य नाही.
6 ची कसोटी | Divisibility Rule for 6 in Marathi
6 ची विभाज्यता कसोटी : जर एखाद्या संख्येला 2 ने आणि 3 नेही निःशेष भाग जात असेल, तर ती संख्या 6 ने सुद्धा विभाज्य असते.
नियम:
कोणतीही संख्या 6 ने तेव्हाच भाग जाते, जेव्हा ती संख्या 2 आणि 3 या दोन्ही संख्यांनी पूर्ण भाग जात असते.
उदाहरणे:
- 7684230
- 2 ची कसोटी: शेवटचा अंक = 0 → 2 ने भाग जातो
- 3 ची कसोटी: 7+6+8+4+2+3+0 = 30 → 30 ÷ 3 = 10 → 3 ने भाग जातो
➤ त्यामुळे 7684230 ही संख्या 6 ने पूर्ण भाग जाते.
- 123456
- शेवटचा अंक 6 → 2 ने भाग जातो
- सर्व अंकांची बेरीज = 1+2+3+4+5+6 = 21 → 3 ने भाग जातो
➤ म्हणून ही संख्या 6 ने विभाज्य आहे.
लक्षात ठेवा:
- जर एखादी संख्या 2 ने जात असेल पण 3 ने नाही, किंवा 3 ने जात असेल पण 2 ने नाही, तर ती 6 ने भाग जात नाही.
- दोन्ही अटी पूर्ण झाल्या पाहिजेत.
7 ची कसोटी | Divisibility Rule for 7 in Marathi
7 ची विभाज्यता कसोटी : 7 ची कसोटी ही थोडी गुंतागुंतीची असते कारण ती इतर नियमांप्रमाणे सरळ नसते. यासाठी आपण सोपा आणि खात्रीशीर नियम वापरू शकतो.
नियम (Subtract and Check Method):
- दिलेल्या संख्येच्या एकक स्थानाचा अंक (शेवटचा अंक) घ्या.
- त्याचा दुप्पट (×2) करा.
- तो गुणाकार उरलेल्या संख्येतून वजा करा.
- तयार झालेली नवी संख्या 7 ने भाग जात असेल तर मूळ संख्या 7 ने पूर्ण भाग जाते.
उदाहरण :
- 203
- एकक अंक = 3
- दुप्पट = 3 × 2 = 6
- उरलेली संख्या = 20
- वजाबाकी = 20 − 6 = 14
- 14 ÷ 7 = 2
- ➤ म्हणून 203 ही संख्या 7 ने पूर्ण भाग जाते.
लक्षात ठेवा:
- ही पद्धत एकापेक्षा अधिक वेळा देखील वापरता येते — जेव्हा पहिल्या वेळी वजा केल्यानंतर सुद्धा मोठी संख्या उरते.
- 7 ची गुणाकार पट्टी लक्षात ठेवा:
7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70...— ह्यामुळे उत्तर पटकन तपासता येते.
8 ची कसोटी | Divisibility By 8 in Marathi
8 ची विभाज्यता कसोटी : जर एखाद्या संख्येचे शेवटचे तीन अंक (अखेरचे 3 digits) 8 ने पूर्णपणे भाग जाणारे असतील, तर ती संपूर्ण संख्या 8 ने देखील भाग जाते.
नियम:
कोणत्याही संख्येचे अखेरचे तीन अंक जर 8 ने विभाज्य असतील, तर ती संख्या 8 ने भाग जाते.
उदाहरणे (Examples):
- 384408
- शेवटची तीन अंक = 408
- 408 ÷ 8 = 51 ✅
➤ म्हणून 384408 या संख्येला 8 ने भाग जातो.
- 123456
- शेवटची तीन अंक = 456
- 456 ÷ 8 = 57 ✅
➤ म्हणून 123456 या संख्येला 8 ने भाग जातो.
- 12345
- शेवटची तीन अंक = 345
- 345 ÷ 8 = 43.125
➤ म्हणून 12345 या संख्येला 8 ने भाग जात नाही.
लक्षात ठेवा:
- फक्त शेवटचे तीन अंक बघा.
- जर शेवटचे तीन अंक 000, 008, 016, 024, … 992 या स्वरूपात असतील, तर ती संख्या 8 ने निश्चितच भाग जाते.
- मोठ्या संख्या दिल्यास त्यात फक्त शेवटचे तीन अंक घेऊन 8 ने भाग जातो का हे तपासणे सर्वात सोपे व जलद असते.
9 ची कसोटी | Divisibility By 9 in Marathi
9 ची विभाज्यता कसोटी : जर एखाद्या संख्येतील सर्व अंकांची बेरीज 9 ने भाग जात असेल, तर ती संपूर्ण संख्या देखील 9 ने पूर्णपणे भाग जाते.
नियम:
संख्येतील सर्व अंकांची बेरीज 9 ने निःशेष (पूर्णपणे) भाग जात असल्यास ती संख्याही 9 ने विभाज्य असते.
उदाहरणे (Examples):
- 53498421
- सर्व अंकांची बेरीज: 5 + 3 + 4 + 9 + 8 + 4 + 2 + 1 = 36
- 36 ÷ 9 = 4
- ➤ म्हणून 53498421 या संख्येला 9 ने भाग जातो.
- 123456
- सर्व अंकांची बेरीज: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21
- 21 ÷ 9 = 2.33
➤ म्हणून 123456 या संख्येला 9 ने भाग जात नाही.
- 999
- सर्व अंकांची बेरीज: 9 + 9 + 9 = 27
- 27 ÷ 9 = 3 ✅
- ➤ म्हणून 999 या संख्येला 9 ने भाग जातो.
लक्षात ठेवा:
- 9 ची कसोटी ही 3 च्या कसोटीप्रमाणेच आहे, पण इथे अंकांची बेरीज 9 ने विभाज्य असली पाहिजे.
- काही वेळा जर बेरीज खूप मोठी संख्या आली, तर तिची पुन्हा बेरीज घेऊन 9 ने भाग जातो का ते तपासावे.
10 ची कसोटी | Divisibility By 10 in Marathi
10 ची विभाज्यता कसोटी : जर एखाद्या संख्येचा शेवटचा (unit) अंक 0 असेल, तर ती संख्या 10 ने पूर्णपणे (निःशेष) भाग जाते.
नियम:
संख्येच्या एककस्थानी (unit digit) 0 असल्यास ती संख्या 10 ने विभाज्य असते.
उदाहरणे (Examples):
- 450
- शेवटचा अंक = 0
- 450 ÷ 10 = 45
- 450 ही संख्या 10 ने पूर्णपणे भाग जाते.
- 7000
- शेवटचा अंक = 0
- 7000 ÷ 10 = 700
- ➤ 7000 ही देखील 10 ने भाग जाते.
- 1234
- शेवटचा अंक = 4
- ➤ 1234 ला 10 ने भाग जात नाही.
लक्षात ठेवा:
- 10 ने फक्त त्याच संख्यांना भाग जातो ज्यांचा शेवटचा अंक 0 असतो.
- जर शेवटचा अंक 1 ते 9 पैकी काहीही असेल, तर ती संख्या 10 ने विभाज्य नसते.
Q 1. विभाज्यता नियम म्हणजे काय?
उत्तर:
विभाज्यता नियम म्हणजे अशा नियमांची एक मालिका आहे, ज्यामुळे एखादी संख्या दुसऱ्या संख्येने निःशेष भाग जाते की नाही हे गणिती पद्धतीने तपासता येते, तेही भागाकार न करता.
निष्कर्ष | Conclusion
विभाज्यता नियम (Divisibility Rules) हे गणितातील एक अत्यंत उपयुक्त व मूलभूत प्रकरण आहे. हे नियम अवगत असणे केवळ शालेय विद्यार्थ्यांसाठीच नव्हे तर स्पर्धा परीक्षा देणाऱ्यांसाठीही अत्यावश्यक आहे. 1 ते 10 पर्यंतचे नियम समजून घेतल्यास, मोठ्या संख्यांचे जलद विश्लेषण व गणना करणे सहज शक्य होते.
या लेखात आपण प्रत्येक संख्येसाठी सोप्या भाषेत नियम, त्यामागील तर्क, आणि उपयुक्त उदाहरणांसह स्पष्टपणे माहिती घेतली. आता तुम्ही कोणतीही संख्या पाहून ती दिलेल्या संख्येने विभाज्य आहे की नाही हे काही क्षणांत ठरवू शकता.
📌 परीक्षेसाठी टीप:
दररोज काही उदाहरणं स्वतःहून सोडवा आणि हे नियम वापरण्याची सवय लावा — यामुळे गणित विषयात गती येईल आणि चुका कमी होतील.
अशाच उपयुक्त आणि सोप्या गणिती लेखांसाठी भेट द्या 👉 www.ganitiguru.com
गणितिगुरुला टेलीग्रामवर फॉलो करा
