वर्ग म्हणजे काय? | Square in Marathi – Definition, Properties & Easy Methods

वर्ग | Square in Marathi :- ही गणितातील एक मूलभूत पण अत्यंत उपयुक्त संकल्पना आहे. आपल्याला वर्ग काढणे हे शालेय अभ्यासात वारंवार लागते – मग ते क्षेत्रफळ असो, घनफळ, गणिती सूत्रे किंवा सरावाचे उदाहरण. वर्ग म्हणजे एखाद्या संख्येला स्वतःशी गुणून आलेला गुणाकार. ही संकल्पना समजून घेतल्यास तुम्ही अनेक गणिती संकल्पना सोप्या पद्धतीने हाताळू शकता.

या लेखात आपण वर्ग म्हणजे काय, त्याचे गुणधर्म, पूर्ण वर्ग संख्यांचा अभ्यास, वर्ग काढण्याच्या सामान्य व विशिष्ट पद्धती आणि उदाहरणे पाहणार आहोत – तीही अगदी सोप्या मराठी भाषेत!

वर्ग म्हणजे काय ? | Square in Marathi :-

जेव्हा एखाद्या संख्येला तिच्याच स्वतःच्या संख्येने गुणले जाते, तेव्हा मिळणाऱ्या उत्तराला त्या संख्येचा वर्ग (Square) म्हणतात.

• उदाहरण:
  • 5×5=25
  • म्हणजे 25 हा 5 चा वर्ग आहे.

पूर्ण वर्ग संख्या म्हणजे काय?

ज्या संख्येचा वर्ग पूर्णांक (Integer) असतो, अशा संख्येला पूर्ण वर्ग संख्या (Perfect Square in Marathi) म्हणतात.

• उदाहरण:
  • 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100 हे सर्व पूर्ण वर्ग आहेत.

वर्ग संख्यांचे महत्त्वाचे गुणधर्म:

• ज्या संख्येच्या एककस्थानी (unit digit) 2, 3, 7, किंवा 8 असतो, त्या संख्या पूर्ण वर्ग नसतात.
• ज्या संख्येच्या एककस्थानी 0, 1, 4, 5, 6, 9 असतात, त्या संख्या पूर्ण वर्ग असू शकतात.
• दोन अंकी संख्येचा वर्ग किमान 3 अंकी व जास्तीत जास्त 4 अंकी असतो.
• 0 चा वर्ग = 0
• 1 चा वर्ग = 1
• कोणत्याही सम संख्येच्या वर्गाच्या एकक स्थानावर फक्त सम संख्या असेल.
• जर एखाद्या संख्येच्या एकक स्थानावर 1 किंवा 9 असेल तर त्या संख्येच्या वर्गाच्या एकक स्थानी 1 असते.
• जर एखाद्या संख्येच्या एकक स्थानावर 2 किंवा 8 असेल तर त्या संख्येच्या वर्गाच्या एकक स्थानी 4 असते.
• जर एखाद्या संख्येच्या एकक स्थानावर 3 किंवा 7 असेल तर त्या संख्येच्या वर्गाच्या एकक स्थानी 9 असते.
• जर एखाद्या संख्येच्या एकक स्थानावर 4 किंवा 6 असेल तर त्या संख्येच्या वर्गाच्या एकक स्थानी 6 असते.
• जर एखाद्या संख्येच्या एकक स्थानावर 5 असेल तर त्या संख्येच्या वर्गाच्या एकक स्थानी 5 असते.
• धन संख्येचा वर्ग = धन संख्या
• ऋण संख्येचा वर्ग = धन संख्या
• दोन क्रमागत संख्यांच्या वर्गातील फरक = त्या दोन संख्यांची बेरीज
  • उदा. 3² = 9, 4² = 16 ⇒ 16 – 9 = 7 ⇒ 3 + 4 = 7
• वर्गमुळात दिलेल्या संख्येचा वर्ग वर्गमुळात दिलेली संख्या असते.
  • (√3)² =3
• जर एककस्थानी 1, 2, 3 असेल तर (a + b)² = a² + 2ab + b² या सूत्राचा वापर करावा.
  • उदाहरणार्थ, –  82²
    • 82² =(80 + 2)² = 80² + 2 × 80 × 2 + 2² = 6400 + 320 + 4 =6724
• जर एककस्थानी 7, 8, किंवा 9 असेल तर (a – b)² = a² – 2ab + b² या सूत्राचा वापर करावा.
  • उदाहरणार्थ, –  89²
    • 89² =(90 – 1)² = 90² – 2 × 90 × 1 +1² = 8100 – 180 + 1 = 7921
• अशी संख्या ज्यामध्ये फक्त 1 असेल अशा संख्येचा वर्ग करताना जेवढे 1 असेल तेवढ्यापर्यंत सरळ गणती करायची आणि नंतर उलटी गणती करायची.
  • जसे,
    • 11² = 121
    • 111² = 12321
    • 1111² = 1234321
• दोन अंकी संख्येमध्ये एककस्थानी असलेली संख्या वजा करायची आणि अधिक करायची आणि त्या संख्येचा वर्ग आलेल्या गुणाकारात मिळवायचा.
  • 12² = 12 × 12 = (12 + 2) × (12 – 2) + (2 × 2) =14 × 10 + 4=140 + 4 = 144
  • ह्या पद्धतीत आपण एक संख्येचा एककस्थान 0 करतो, त्यामुळे गुणाकार करायला सोपा जातो.
• जर एखादया संख्येच्या शेवटी 0 असतील उदा, तर 10, 20, 300, इत्यादी. त्या संख्येच्या वर्ग करताना जेवढे  0 असतील त्याची दुप्पट करायची व त्यासमोरील संख्येचा वर्ग करावा.

वर्ग काढायच्या पद्धती:

1) सामान्य पद्धत (General Method):

• सामान्य पद्धतीने एखाद्या संख्येला तिच्याच संख्येने गुणा करावा.
  • उदाहरण:
  • 17×17=289 ⇒ 289 हा 17 चा वर्ग आहे.

2) विशिष्ट पद्धत (Special Method):

• ज्या संख्यांचा वर्ग पटकन काढता येतो अशा ठराविक संख्यांसाठी विशेष सूत्र वापरतात, जसे की:
  • (a+b)²=a²+2ab+b²
  • (a−b)²=a²−2ab+b²
  • उदाहरण:
    • 23²=(20+3)²=20²+2×20×3+3²=400+120+9=529
• कोणत्याही एक अंक पुन्हापुन्हा येवुन तयार झालेल्या संख्येचा वर्ग काढायची पद्धत
  • 11² = 1² × 1 | 1² × 2 | 1² × 1 = 1 | 2 | 1 = 121
  • 22² = 2² × 1 | 2² × 2 | 2² × 1 = 4 | 8 | 4 = 484
  • 33² = 3² × 1 | 3 × 2 | 3 × 1 = 9 | 18 | 9 = 9 + 1 | 8 | 9 = 10 | 8 | 9 = 1089
• अशी संख्या ज्यामध्ये फक्त 1 असेल अशा संख्येचा वर्ग करताना जेवढे 1 असेल तेवढ्यापर्यंत सरळ गणती करायची आणि नंतर उलटी गणती करायची.
  • 11² =121
  • 111² =12321
  • 1111² =1234321
  • 11111² =123454321
• ज्या संख्येचे एककस्थानी 5 अंक असतो त्या संख्येचा वर्ग काढायची पद्धत : सर्वात पहिले उजवीकडे 25 लिहायचे नंतर ज्या संख्येचा वर्ग करायचा आहे त्या संख्येत 5 सोडुन जो अंक असेल त्यामध्ये एक मिळुन त्यांचा अतिरिक्त  अंकासोबत गुणाकार करतात.
  • X5² =X × (X + 1) |25
  • 25² = (2×3)| 25=6|25=625
  • 15² = (1×2)| 25=2|25=225
  • 35² = (3×4)| 25=12|25=1225
• ज्या संख्येच्या शेवटी 25 असेल अशा संख्येचा वर्ग काढायची पद्धत :-
  • X25² = X²+X/2 | 0625
  • 225² = 2²+2/2 | 0625 = 4 + 1 | 0625 = 50625

वारंवार विचारले जाणारे प्रश्न (FAQ) – वर्ग म्हणजे काय?

निष्कर्ष (Conclusion):

वर्ग ही संकल्पना गणितात खूप महत्त्वाची आहे. वर्ग समजून घेतल्यास तुम्ही घनफळ, क्षेत्रफळ, त्रिकोणमिती, बीजगणित आणि गणिती सूत्रे अधिक सोप्या पद्धतीने हाताळू शकता.

सराव करा आणि गणितीगुरू व्हा!

गणितिगुरुला टेलीग्रामवर फॉलो करा