गुणोत्तर आणि प्रमाण – संपूर्ण माहिती | Ratio and Proportion in Marathi

गणित शिकताना अनेकवेळा आपल्याला अशा संकल्पना भेटतात ज्या फक्त परीक्षांसाठीच नाहीत, तर आपल्या दैनंदिन जीवनातसुद्धा खूप उपयुक्त ठरतात. अशाच संकल्पनांमध्ये एक अत्यंत महत्त्वाची संकल्पना म्हणजे गुणोत्तर आणि प्रमाण (Ratio and Proportion in Marathi).

आपण जेव्हा दोन राशींची तुलना करतो – जसे की साखर व पाण्याचं प्रमाण, पैशांचं वाटप, किंवा वेग व वेळ यांचं नातं – तेव्हा गुणोत्तर आणि प्रमाण आपल्याला अचूक गणना करायला मदत करतात.

या लेखात आपण बघणार आहोत:

• गुणोत्तर म्हणजे काय?
• प्रमाण म्हणजे काय?
• दोघांतील फरक
• उदाहरणांसह संकल्पना स्पष्ट

चला तर मग, अगदी सोप्या भाषेत या दोन महत्त्वाच्या गणिती संकल्पना शिकून घेऊया!

गुणोत्तर म्हणजे काय? | What is Ratio in Marathi :-

गुणोत्तर म्हणजे दोन एकसमान एकक असलेल्या राशींमधील तुलनेचं प्रमाण.
जेव्हा दोन संख्यांची किंवा राशींची तुलना आपण भागाकाराच्या स्वरूपात करतो, तेव्हा त्याला गुणोत्तर (Ratio) म्हणतात.

• उदाहरणार्थ :
  • जर रमेशकडे 4 सफरचंद आणि सुरेशकडे 2 सफरचंद असतील,
  • तर रमेश आणि सुरेशमधील सफरचंदांचं गुणोत्तर = 4 : 2 = 2 : 1
  • म्हणजेच, रमेशकडे सुरेशाच्या तुलनेत दुप्पट सफरचंद आहेत.

गुणोत्तराची व्याख्या | Definition of Ratio in Marathi:

“विशिष्ट परिस्थितीत दोन राशींची तुलना करण्यासाठी भागाकार पद्धत वापरली जाते. या भागाकारालाच ‘गुणोत्तर’ म्हणतात.”

गुणोत्तराचे गुणधर्म | Properties of Ratio in Marathi :-

गुणोत्तर ही एक अचूक तुलना पद्धत असून, ती वापरताना काही महत्त्वाचे गुणधर्म लक्षात ठेवावे लागतात. खाली दिलेल्या गुणधर्मांमुळे गुणोत्तराची संकल्पना अधिक स्पष्ट होते:

• एकक समान असणे आवश्यक:
  • गुणोत्तर काढण्यासाठी दोन्ही राशी एकाच प्रकारच्या आणि एकाच एककात असणे गरजेचे आहे.
  • उदा. 10 मीटर : 5 मीटर ✅ | 10 मीटर : 5 किलो ❌
• गुणोत्तराला एकके नसतात:
  • गुणोत्तर ही दोन एकसमान एककांची तुलना असल्याने त्याचे स्वतःचे कोणतेही एकक (units) नसते.
  • उदा. 10 : 5 = 2 (यात “मीटर” वगैरे लिहित नाही.)
• गुणोत्तर लिहण्याचे प्रकार:
  • गुणोत्तर लिहिण्याच्या तीन पद्धती आहेत:
    • a / b
    • a : b
    • a ÷ b
  • इथे,
    • a ला पूर्वपद (Antecedent) म्हणतात
    • b ला उत्तरपद (Consequent) म्हणतात
• गुणोत्तर समान राहते:
  • गुणोत्तराची किंमत न बदलता त्याचे प्रमाण शून्येतर संख्येने वाढवले किंवा घटवले जाऊ शकते.
  • सिद्धांत: a/b = ak/bk (k ही शुन्येतर संख्या आहे)
• शतमान (Percentage):
  • जर गुणोत्तराचे दुसरे पद 100 असेल, तर ते गुणोत्तर शतमान किंवा शेकडेवारी म्हणतात.
  • उदा. 25 : 100 = 25%

गुणोत्तराचे प्रकार | Types of Ratio in Marathi

गुणोत्तराचे प्रकार समजून घेतल्यास कोणतीही गणिती अडचण अधिक सोप्या पद्धतीने हाताळता येते. खाली गुणोत्तराचे प्रमुख प्रकार व त्यांचे सोपे स्पष्टीकरण दिले आहे:

1. सरळ गुणोत्तर | Simple Ratio in Marathi :-
   • जेव्हा दोन संख्यांमध्ये काहीही साधारण भागाकार शक्य नाही (म्हणजे त्या सह-अभाज्य असतात), तेव्हा त्यास सरळ गुणोत्तर म्हणतात.
   • उदाहरण : 2 : 3
2. मिश्र गुणोत्तर | Compound Ratio in Marathi
   • दोन किंवा अधिक गुणोत्तरांचे पूर्वपदे एकमेकात गुणून आणि उत्तरपदे एकमेकात गुणून तयार केलेल्या गुणोत्तराला मिश्र गुणोत्तर म्हणतात.
   • सूत्र : a/b & c/d चे मिश्र गुणोत्तर ⇒ ac/bd
   • उदाहरण : 3/4 आणि 5/7 → 15/28
3. व्यस्त गुणोत्तर | Reciprocal Ratio in Marathi :-
   • गुणोत्तर उलट केल्यावर जे गुणोत्तर मिळते, त्यास व्यस्त गुणोत्तर म्हणतात.
   • उदाहरण : 3 : 4 → 4 : 3
4. वर्ग गुणोत्तर | Duplicate Ratio in Marathi :-
   • एखाद्या गुणोत्तराचे स्वतःबरोबर मिश्रित गुणोत्तर केल्यावर जे गुणोत्तर मिळते ते वर्ग गुणोत्तर असते.
   • उदाहरण : 3/4 → 9/16
5. घन गुणोत्तर | Triplicate Ratio in Marathi :-
   • गुणोत्तरातील दोन्ही पदांचे घन घेऊन जे गुणोत्तर तयार होते त्याला घन गुणोत्तर म्हणतात.
   • उदाहरण : 2/3 → 8/27
6. वर्गमूळ गुणोत्तर | Sub-Duplicate Ratio in Marathi :-
   • पूर्वपद आणि उत्तरपद यांचे वर्गमूळ घेऊन तयार होणारे गुणोत्तर.
   • उदाहरण : 4/9 → 2/3
7. घनमूळ गुणोत्तर | Sub-Triplicate Ratio in Marathi :-
   • पूर्वपद व उत्तरपद यांचे घनमूळ घेऊन तयार होणारे गुणोत्तर.
   • उदाहरण : 8/27 → 2/3
8. समानतेचे गुणोत्तर | Equal Ratio in Marathi :-
   • जेव्हा पूर्वपद व उत्तरपद दोन्ही समान असतात, तेव्हा ते समानतेचे गुणोत्तर असते.
   • उदाहरण : 5 : 5
9. असमानतेचे गुणोत्तर | Unequal Ratio in Marathi :-
   • पूर्वपद आणि उत्तरपद वेगवेगळे असतील तर ते असमानतेचे गुणोत्तर आहे.
   • उदाहरण : 5 : 7
10. कमी असमानतेचे गुणोत्तर | Lesser Unequal Ratio in Marathi :-
    • पूर्वपद < उत्तरपद असल्यास
    • उदाहरण : 7 : 9
11. जास्त असमानतेचे गुणोत्तर | Greater Unequal Ratio in Marathi :-
    • पूर्वपद > उत्तरपद असल्यास
    • उदाहरण : 9 : 7

प्रमाण म्हणजे काय? (What is Proportion in Marathi)

• गुणोत्तर आणि प्रमाण हे एकाच नाण्याच्या दोन बाजू आहेत.
• गुणोत्तर म्हणजे दोन राशींची तुलना.
• प्रमाण म्हणजे दोन गुणोत्तर समान असल्याचे दर्शवणारे समीकरण.
• उदाहरण:
  • 4/5 = 20/25 हे एक प्रमाण आहे.
  • हे एक प्रमाण आहे, कारण दोन्ही गुणोत्तरांची किंमत समान आहे (0.8)

प्रमाणाची सोपी व्याख्या:

“जेव्हा दोन गुणोत्तर समान असतात, तेव्हा त्यांच्या मधील तुलना ‘प्रमाण’ म्हणून ओळखली जाते.”

प्रमाण दर्शविण्याची चिन्हे:

• प्रमाण लिहिण्यासाठी खालील चिन्हांचा वापर केला जातो:
  • a : b : : c : d
  • a / b = c / d
• इथे:
  • a आणि d हे अंत्यपदे (extremes)
  • b आणि c हे मध्यपदे (means)

प्रमाणाचे प्रकार (Types of Proportion):

1. सम प्रमाण | Direct Proportion in Marathi :
   • जेव्हा दोन गुणोत्तर एकमेकांशी बरोबरीने असतात, तेव्हा त्यांना सम प्रमाण म्हणतात.
   • उदाहरण : a : b : : c : d असल्यास
     • a, b, c, d हे चार संख्यात्मक पदे प्रमाणात असतात.
   • पदांची संज्ञा :
     • a आणि d — अंत्यपदे (Extremes)
     • b आणि c — मध्यपदे (Means)
     • c — तृतीय प्रमाणपद (Third Proportional)
     • d — चतुर्थ प्रमाणपद (Fourth Proportional)
   • महत्त्वाचा गुणधर्म :
     • अंत्यपदांचा गुणाकार = मध्यपदांचा गुणाकार ⇒ a × d = b × c
2. परंपरित प्रमाण | Continued Proportion in Marathi :
   • जर a : b = b : c असेल, तर a, b आणि c या तीन संख्यांना परंपरित प्रमाणात म्हणतात.
   • येथे b हे a आणि c चे मध्यम प्रमाणपद (Mean Proportional) असते.
   • गुणधर्म :
     • b = √ac

प्रमाणाचे गुणधर्म (Properties of Proportion):

क्रिया	नियम
व्यस्त क्रिया	a : b : : c : d ⇒ b : a : : d : c
एकांतर क्रिया	a : b : : c : d ⇒ a : c : : b : d
योग क्रिया	a : b : : c : d ⇒ a+b : b : : c+d : d
वियोग क्रिया	a : b : : c : d ⇒ a-b : b : : c-d : d
योग वियोग क्रिया	a : b : : c : d ⇒ a+b : a-b : : c+d : c-d

गुणोत्तर आणि प्रमाणातील फरक:

घटक	गुणोत्तर	प्रमाण
अर्थ	गुणोत्तर हे दोन राशीची तुलना करण्यासाठी वापरतात.	प्रमाण हे दोन गुणोत्तर समान आहेत हे दर्शविण्यासाठी वापरतात.
चिन्ह	गुणोत्तर हे ( : ) किंवा ( / ) ह्या चिन्हांने  दर्शवितात	प्रमाण हे ( : : ) किंवा ( = ) ह्या चिन्हांने  दर्शवितात
स्वरूप	अभिव्यक्ती	समीकरण
सुत्र	a:b  किंवा a/b	a : b : :  c : d किंवा a/b=c/d
उदाहरण	4 : 5	4 : 5 : : 20 : 25

गुणोत्तराची तुलना करण्याचा नियम:

• जर a × d > b × c ⇒ a/b > c/d
• जर a × d < b × c ⇒ a/b < c/d
• जर a × d = b × c ⇒ a/b = c/d

समान गुणोत्तराचा सिद्धांत:

जर a : b = c : d
⇒ a : b = c : d = a + c : b + d

या गुणधर्माला समान गुणोत्तराचा सिद्धांत म्हणतात.

FAQs – गुणोत्तर आणि प्रमाण

निष्कर्ष – गुणोत्तर आणि प्रमाण (Ratio and Proportion in Marathi)

गणितातील गुणोत्तर आणि प्रमाण ही संकल्पना केवळ अभ्यासापुरती मर्यादित नसून, ती आपल्या दैनंदिन जीवनातही फार उपयोगी ठरते. खरेदी-विक्री, पाककृती, वेग, किंमत यांसारख्या अनेक क्षेत्रात आपण या संकल्पनांचा वापर करतो.

• गुणोत्तर (Ratio) म्हणजे दोन सजातीय राशींची भागाकाराने तुलना.
• प्रमाण (Proportion) म्हणजे दोन गुणोत्तरांची समानता.

या दोन्ही संकल्पना परस्पर संबंधित असून, गुणोत्तर हे आधार आहे आणि प्रमाण त्याची व्याप्त संकल्पना आहे. गुणोत्तराच्या वेगवेगळ्या प्रकारांपासून ते प्रमाणाचे विविध गुणधर्म व प्रकार हे अभ्यासक्रमात तसेच स्पर्धा परीक्षांमध्ये नेहमी विचारले जातात.

जर आपणास हे मूलभूत ज्ञान स्पष्ट असेल, तर अनेक गणिती समस्यांचे निराकरण सहज शक्य होते.

अधिक लेखांसाठी भेट द्या: ganitiguru.com

गणितिगुरुला टेलीग्रामवर फॉलो करा